人教版七年级上册数学教案:第一章  有理数

发布时间:2020-07-29 09:14:34   来源:状物作文    点击:   
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 1.2 有理数

 1.2.1 有理数

 1.理解有理数的概念.

 2.会判断一个数是整数还是分数,是正数还是负数.

 3.懂得有理数的两种分类方法.

 阅读教材P6,请你认真思考,你认为整数包括哪些?分数包括哪些?有理数按数的形式可以怎样来分类?你认为正有理数包括哪些?负有理数包括哪些?有理数按性质(符号)可以怎样来分类?

 知识探究

 1.正整数、0和负整数统称为整数;正分数和负分数统称为分数.

 2.整数和分数统称为有理数.

 自学反馈

 1.把下列各数写在相应的集合里.

 -5,10,-4.5,0,+2eq \f(3,5),-2.15,0.01,+66,-eq \f(3,5),15%,eq \f(22,7),2 009,-16.

 正整数集合:{10,+66,2 009,…}

 负整数集合:{-5,-16,…}

 负分数集合:{-4.5,-2.15,-eq \f(3,5),…}

 正分数集合:{+2eq \f(3,5),0.01,15%,eq \f(22,7),…}

 整数集合:{-5,10,0,+66,2 009,-16,…}

 负数集合:{-5,-4.5,-2.15,-eq \f(3,5),-16,…}

 正数集合:{10,+2eq \f(3,5),0.01,+66,15%,eq \f(22,7),2 009,…}

 有理数集合:{-5,10,-4.5,0,+2eq \f(3,5),-2.15,0.01,+66,-eq \f(3,5),15%,eq \f(22,7),2 009,-16,…}

 2.有理数的分类(分两类).

 解:略.

 有理数的分类标准要统一.

 活动1 小组讨论

 例1 在数-5,eq \f(2,3),0,-0.24,7,4 076,-eq \f(5,9),-2中,正数有eq \f(2,3),7,4__076,负数有-5,-0.24,-eq \f(5,9),-2,整数有-5,0,7,4__076,-2,分数有eq \f(2,3),-0.24,-eq \f(5,9),有理数有-5,eq \f(2,3),0,-0.24,7,4__076,-eq \f(5,9),-2.

 例2 下列说法不正确的是(A)

 A.正整数和负整数统称为整数

 B.正有理数、负有理数和零统称为有理数

 C.整数和分数统称为有理数

 D.正分数和负分数统称为分数

 例3 有理数:-7,3.5,-eq \f(1,2),1eq \f(1,2),0,π,eq \f(13,17)中,正分数有(C)

 A.1个

   B.2个

   C.3个

   D.4个

 活动2 跟踪训练

 1.下列各数:-8,-1eq \f(1,3),2.03,0.5,eq \f(6,7),-44,-0.99,其中整数有-8,-44,负分数有-1eq \f(1,3),-0.99.

 2.下列说法正确的是(D)

 A.一个有理数不是正数就是负数

 B.正有理数和负有理数组成有理数

 C.有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数

 D.负整数和负分数统称为负有理数

 3.有理数中,是整数而不是负数的是非负整数,是负有理数而不是分数的是负整数.

 活动3 课堂小结

 通过教师的引导、鼓励和不断完善,以及学生自己的概括,最后归纳出我们已经学过的5类不同的数,它们分别是正整数、零、负整数、正分数、负分数.

 1.2.2 数轴

 1.了解数轴的概念,学会画数轴,知道如何在数轴上表示有理数,能说出数轴上表示有理数的点所表示的数,知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应.

 2.通过现实生活中的例子,从直观认识到理性认识,从而建立数轴概念;通过学习,初步体会对应的思想、数形结合的思想.

 3.体会数形结合的思想方法,进而初步认识事物之间的联系,激发学习热情.

 阅读教材P7~9,思考和回答以下问题.

 1.通过阅读教材(数轴部分),你认为画一条数轴必须包括什么?这就是数轴的三要素.请你在下面画一条数轴.

 2.数轴上有些点表示有理数,如下图,指出A、B、C、D、E分别表示什么数?

 3.完成教材P9的归纳,由此可见要在数轴上确定一个有理数的位置,必须确定哪两个方面?画一条数轴,把2、-3、-1.5、2eq \f(2,3)、0、-2eq \f(1,4)标在数轴上.

 4.所有的有理数都能标在数轴上吗?数轴上的所有点都表示有理数吗?

 5.数轴上的数都是按照正方向由小到大排列的,左边的数与右边的数大小关系怎样?正数、零、负数的大小关系怎样?由此我们可以根据数轴来比较有理数的大小关系.

 知识探究

 1.规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

 2.数轴是一条直线,它可以向两端无限延伸.

 3.数轴上原点左侧是负数,正数在原点的右侧.

 自学反馈

 1.数轴的三要素是原点、正方向、单位长度.

 2.指出图中所画数轴的错误:

 解:略.

 3.如图,数轴上点A、B表示的数分别是-2.5、2.

 4.在数轴上表示-1.2的点在(B)

 A.-1与0之间

  B.-2与-1之间

 C.1与2之间 D.-1与1之间

 5.数轴上表示-8的点在原点的左侧,距离原点8个单位长度;数轴上点P距原点5个单位长度,且在原点的左侧,则点P表示的数是-5.

 6.画一条数轴表示下列各数,并用“<”把这些数连接起来.

 eq \f(1,3),2,-4.5,0,eq \f(5,2),-0.5, -eq \f(1,4).

 解:略.

 活动1 小组讨论

 例 (1)画一条数轴,并表示出如下各点:±0.5,±0.1,±0.75;

 (2)画一条数轴,并表示出如下各点:1 000,5 000,-2 000;

 (3)画一条数轴,在数轴上标出到原点的距离小于3的整数;

 (4)画一条数轴,在数轴上标出-5和+5之间的所有整数.

 解:略.

 数轴的三要素、画法、适当地选择单位长度和原点的位置.

 活动2 跟踪训练

 1.画出数轴并表示下列有理数:1.5,-2,2,-2.5,4eq \f(1,2),0.

 解:略.

 2.如图,写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数.

 解:0,-2,1,2.5,-3.

 3.在数轴上,表示数-3,2.6,-eq \f(3,5),0,4eq \f(1,3),-2eq \f(2,3),-1的点中,在原点左边的点有4个.

 4.在数轴上点A表示的数是-4,如果把原点向负方向移动1.5个单位长度,那么在新数轴上点A表示的数是(C)

 A.-5eq \f(1,2) B.-4

 C.-2eq \f(1,2) D.2eq \f(1,2)

 5.一个点在数轴上表示的数是-5,这个点先向左边移动3个单位长度,然后再向右边移动6个单位长度,这时它表示的数是多少呢?如果按上面的移动规律,最后得到的点是2,则开始时它表示什么数?

 解:-2,-1.

 利用数轴,数形结合解题.

 活动3 课堂小结

 1.数轴的出现对数学的发展起了重要作用,师生共同研究,什么是数轴?如何画数轴?如何在数轴上表示有理数?

 2.利用数轴,很多数学问题都可以借助图直观地表示.

 1.2.3 相反数

 1.理解相反数的意义.

 2.掌握求一个已知数的相反数的方法.

 3.提高观察、归纳和概括的能力.

 阅读教材P9~10,思考并回答以下问题.

 1.在数轴上,到原点的距离等于3的点有两个,这两个点表示的数是-3和3,像这样,只有符号不同的两个数叫做互为相反数.也就是说:3是-3的相反数,-3是3的相反数.

 2.数a的相反数记作-a,5的相反数记作-5,-5的相反数记作-(-5),而-5的相反数是5,因此-(-5)=5.

 知识探究

 1.相反数的定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

 2.在数轴上表示相反数的两个点的特点是关于原点对称.

 3.我们规定:0的相反数是0.

 自学反馈

 1.数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是8.4,则这两个数是±4.2.

 2.-2.3的相反数是2.3;0.01是-0.01的相反数.

 3.相反数等于本身的数是0.

 4.已知有理数a,则a的相反数可用-a表示.

 5.表示下列各数的相反数,并求出相反数的值:

 ①7;②+6.3;③-3eq \f(3,4);④+(-eq \f(2,3));⑤-(+3eq \f(5,6));⑥-(-2.6);⑦0.

 解:-7,-(+6.3)=-6.3,-(-3eq \f(3,4))=3eq \f(3,4),-[+(-eq \f(2,3))]=eq \f(2,3),-[-(+3eq \f(5,6))]=3eq \f(5,6),-[-(-2.6)]=-2.6,0.

 活动1 小组讨论

 例1 化简下列各数,你能发现什么规律?

 (1)-[-(-3)];

 (2)-[+(-3.5)];

 (3)+[-(-6)];

 (4)-[-(+7)].

 规律:负号个数为奇数时,化简得的结果为负;负号个数为偶数时,化简得的结果为正.

 例2 化简下列各数,并总结一个有理数符号简化的规律.

 (1)-(-eq \f(1,3));

 (2)+(+10);

 (3)+(-4eq \f(1,2));

 (4)-{+[-(-2)]}.

 解:略.

 例3 已知a、b在数轴上的位置如图所示.

 (1)在数轴上作出它们的相反数;

 (2)用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来.

 解:略.

 相反数的特点和定义:到原点的距离相等,符号相反.

 活动2 跟踪训练

 1.-eq \f(7,4)的相反数是eq \f(7,4);eq \f(1,3)的相反数是-eq \f(1,3);0的相反数是0;a+1的相反数是-a-1.

 2.若x=-4,则-(-x)=-4;若-y=3.1,则y+3.1=0;若-a=-(-3),则a=-3;b-a与a-b互为相反数.

 3.负数的相反数比它本身大,正数的相反数比它本身小,0的相反数和它本身相等.

 4.若a=-2,则-a=2;若-b=eq \f(7,4),则b=-eq \f(7,4);若-c=-8,则c=8.

 5.若x的相反数仍是x,则x=0.

 6.已知a与b互为相反数,a与b应满足关系式a+b=0.

 7.一个数的相反数是最大的负整数,那么这个数是1.

 活动3 课堂小结

 相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述,也揭示了两个特殊数的特征.这两个特殊数在数量上具有相同的绝对值,它们的和为零,在数轴上表示时,离原点的距离相等等性质均有广泛的应用.

 1.2.4 绝对值

 第1课时 绝对值

 1.理解绝对值的几何意义和代数意义.

 2.会求一个有理数的绝对值.

 阅读教材P11,思考下面的问题.

 1.在数轴上和原点相距3个单位长度的点表示的数是什么?-5在原点的哪一侧,与原点相距几个单位长度?你能在数轴上标出这些距离吗?

 2.通过学习,你能写出绝对值的定义吗?

 3.一个有理数a的相反数怎样表示?通过本节的学习你知道一个有理数a的绝对值怎样表示吗?

 知识探究

 1.一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.

 2.一个正数的绝对值是它本身,即:若a>0,则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))=a;一个负数的绝对值是它的相反数,即:若a<0,则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))=-a;0的绝对值是0(双重性).

 自学反馈

 1.数轴上有一点到原点的距离为6.03,那么这个点表示的数是±6.03.所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6.03))=6.03,eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(-6.03))=6.03.

 2.计算:(1)|+13|=13;(2)|-8|=8;(3)|+3eq \f(1,5)|=3eq \f(1,5);(4)|-8.22|=8.22.

 3.-2eq \f(1,3)的绝对值是2eq \f(1,3),绝对值等于2eq \f(1,3)的数是±2eq \f(1,3),它们是一对相反数.

 4.已知|a|=3,|b|=5,a与b异号,求a、b两数在数轴上所表示的点之间的距离.

 解:8.

 5.在|-7|,eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5)),-(+3),-|0|中,负数共有(A)

 A.1个

  B.2个

  C.3个

  D.4个

 6.一个数的绝对值等于这个数本身,这个数是(D)

 A.1 B.+1,-1,0

 C.1或-1 D.非负数

 非负数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数.

 活动1 小组讨论

 例1 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(-2))的相反数是(B)

 A.2 B.-2 C.0.5 D.-0.5

 例2 下列四组数中不相等的是(C)

 A.-(+3)和+(-3) B.+(-5)和-5

 C.+(-7)和-(-7) D.-(-1)和|-1|

 例3 下列说法正确的是(B)

 A.一个数的绝对值的相反数一定不是负数

 B.一个数的绝对值一定不是负数

 C.一个数的绝对值一定是正数

 D.一个数的绝对值一定是非正数

 例4 若|x-3|+|y-2|=0,则x=3,y=2.

 活动2 跟踪训练

 1.绝对值小于2的整数有3个,它们分别是±1,0.

 2.指出下列各式中a的取值.

 (1)若|a|=-a,则a为非正数;

 (2)若|-a|=a,则a为非负数;

 (3)若|a-1|=0,则a为1.

 3.已知a,b是有理数,且满足|a+1|+|2-b|=0,求a+b的值.

 解:1.

 注意绝对值的非负性.

 活动3 课堂小结

 1.绝对值的定义:有理数到原点的距离.

 2.求一个有理数的相反数.

 3.化简绝对值.

 |a|=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a(a>0),,0(a=0),,-a(a<0).))

 第2课时 比较大小

 1.理解比较有理数大小的规则的合理性.

 2.会比较有理数的大小.

 阅读教材P12~13,思考和回答下列问题.

 1.研究两个有理数,按照正数、负数、零分类,有怎样的几种情况?

 (1)正数与正数;(2)正数与零;(3)正数与负数;(4)零与负数;(5)负数与负数.

 2.教材引导我们利用数轴进行有理数的大小比较.

 在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数.

 知识探究

 1.在数轴上表示的两个有理数,左边的数小于右边的数.

 2.正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小.

 自学反馈

 1.比较-eq \f(7,8)和-eq \f(6,7);-|-(+5)|和-[-(+5)]的大小,并写出比较过程.

 解:-eq \f(7,8)<-eq \f(6,7),-|-(+5)|<-[-(+5)].

 先化简,再比较.

 2.求同时满足:①│a│=6,②-a<0这两个条件的有理数a.

 解:a=6.

 活动1 小组讨论

 例1 将有理数:-(-4),0,-│-3eq \f(1,2)│,-│+2│,-│-(+1.5)│,-(-3),│-(+2eq \f(1,2))│表示到数轴上,并用“<”把它们连接起来.

 解:略.

 例2 有理数x、y在数轴上的位置如图所示:

 (1)在数轴上表示-x,-y;

 (2)试把x、y、0、-x、-y这五个数用“>”连接起来.

  解:(1)

 (2)x>-y>0>y>-x.

 数轴上的点表示的数右边的总比左边的大.

 活动2 跟踪训练

 1.下面四个结论中,正确的是(D)

 A.|-2|>|-3|

  B.|2|>|3|

 C.2>|-3| D.|-2|<|-3|

 2.比较大小(填“>”或“<”).

 (1)-eq \f(2,3)>-eq \f(3,4);

 (2)-eq \f(2 007,2 008)>-eq \f(2 008,2 009);

 (3)-(-eq \f(1,9))>-eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(-\f(1,10))).

 3.在数轴上表示下列各数:+2eq \f(2,3),-eq \f(1,2),-(-6),-7,-(+3),1,0,-1.5.并用“<”将它们连接起来.

 解:略.

 4.已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示,请比较a,b,|a|,|b|的大小.

 解:

 即|b|>|a|>a>b.

 活动3 课堂小结

 1.两个负数比较大小,绝对值大的反而小.

 2.正数大于零,零大于负数,正数大于负数.